இரண்டு பின்னங்களில் எது பெரியது எது சிறியது என கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 3/5 பெரியதா அல்லது 4/7 பெரியதா? கிடைக்கோட்டிற்கு மேலே இருப்பது தொகுதி, கீழே இருப்பது பகுதி. 3/5 என்பது ஐந்தில் மூன்று பங்கு. கணிதத்தின் பல கூறுகளை நாம் காட்சி வடிவில் பார்த்துவிட்டால் அது எளிதாகிவிடும். பின்னங்களையும் அப்படி பார்க்க முயல்வோம். அதனை எண்களாகவும் பின்னங்களாகவும் மட்டும் பார்க்கும்போது மனதிற்குள் ஒட்டுவதில்லை.
3/5 என்பதை கீழ்கண்ட படத்தில் காட்சிப் படுத்தலாம். இதுவே ஒரு வட்டத்திலும் காட்சிப் படுத்தலாம். வட்டத்தை ஐந்து பகுதிகளாக பிரித்து, அதில் மூன்றை மட்டும் எடுத்தால் அதுவே 3/5
அடுத்து இருக்கு 4/7-ஐயும் இதே போல காட்சிப்படுத்தலாம்.
படங்களைப் பார்த்து ஓரளவு கண்டுபிடிக்க லாம். ஆனால் தோராயமாகத்தான் சொல்ல முடியும், இரண்டு பகுதிகளும் மிகவும் நெருக்க மாக இருக்கும்போது கணிப்பது சிரமம். ஆகவே துல்லியமாக கணக்கிட வேண்டும். கணிதத்தில் துல்லியம் முக்கியமாகின்றது. சரி எப்படி இரண்டையும் ஒப்பிடுவது.
1. இரண்டையும் வகுத்து தசம பின்னமாக (decimal fraction) கொண்டு வந்துவிட்டால் எளிது (0.6)
2. அல்லது இரண்டின் பகுதிகளை (denominator) ஒன்றாக்கிவிட்டால் எளிதாக ஒப்பிடலாம்.
3/5ம் 4/7ம் வேற்றின பின்னங்கள் – பகுதி ஒன்றாக இல்லை. இதனை ஓரின பின்னமாக மாற்றவேண்டும்.
இரண்டு பகுதிகள் (3/5) மற்றும் (4/7)ல் இருந்து 5 மற்றும் 7. இரண்டு பின்னங்களின் பகுதிகளையும் எப்படி ஒன்றாக்குவது? LCM – மீச்சிறு பொது மடங்கினை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
5,7 – இரண்டும் பகா எண்கள். ஆகவே நேரிடையாக அதன் மீச்சிறு பொதுமடங்கு -LCM = 5 X 7 = 35 என்று வந்துவிடலாம்.
3/5 = 3 X 7 / (5 X7 ) = 21/35
4/7 = 4 X 5 / (7 X 5) = 20/35
இப்போது 21ஐயும் 20ஐயும் எளிதாக ஒப்பிடலாம். 21 அதிகம். ஆகவே 3/5 தான் அதிகம். அதனை எப்படி குறிப்பிட?
3/5 >4/7
படத்தில் பார்க்கும்போது இரண்டுமே கிட்டத் தட்ட சமம்போல இருக்கும். முதல் படத்தில் 21/35, இரண்டாம் படத்தில் 20/35.
இரண்டு பின்னங்களுக்கும் ஒரே பகுதியை கொண்டு வந்துவிட்டால் கூட்டல், கழித்தல் எல்லாம் எளிதாகிவிடும்.
21/35 + 20/ 35 = (21+20)/35 = 41/35
41/35ல் தொகுதி பகுதியைவிட பெரிய
தாக இருக்கின்றது. இதனை எளிமையாக்கு வோமோ?
41ஐ 35ஆல் வகுத்தால் 1- ஈவு(quotient) 6 மீதிம்(remainder). ஆகவே இதனை 1 + 6/35 என்று குறிப்பிடவேண்டும். இன்னும் எளிமையாக 1 (6/35) என்றும் குறிப்பிடலாம். இதனை கலப்பு பின்னம் (mixed fractions) என்று குறிப்பிடுவார்கள். கழித்தலை இந்நேரம் போட்டிருப்பீர்களே = 21/35 – 20/35 = (21-20)/35 = 1/35.
தினசரி வாழ்வில் முழு எண்களைக் காட்டி லும் பின்னங்களே அதிகமாக காணப்படும். வீட்டில் சுடப்படும் தோசையில் இருந்து அது துவங்கும். உயரிய எல்லா கணிதங்களிலும், அறிவியல் கோட்பாடுகளிலும் கூட பின்னங்கள் ஆட்கொள்ளும். அதனை வாசப்படுத்தினால் பெரும் பயம் நீங்கிவிடும்.
(தொடரும்)
- கட்டுரையாளர் சிறார் எழுத்தாளர். ‘மலைப்பூ’, ‘1650 முன்ன ஒரு காலத்திலே’ ஆகியவை இவரது சமீபத்திய நூல்கள்; தொடர்புக்கு: umanaths@gmail.com