இரா. செங்கோதை
ஒரு கிராமத்தில் ராமு என்ற விவசாயி வாழ்ந்து வந்தார். அவருடைய மகன்கள் கோபியும் ராமுவும் அந்த கிராமத்தில் இருந்த அரசு பள்ளியில் படித்து வந்தனர். ஒரு நாள் இரவு கோபியும் சீனுவும் தங்களுடைய தந்தையிடம் பள்ளியில் சேமிப்பின் அவசியத்தை பற்றி ஆசிரியர் கூறியதை விவரித்து கொண்டிருந்தனர்.
இதைக் கேட்ட ராமு, “இப்பொழுது ஒரு நிபந்தையின் பேரில் உங்களுக்கு நான் பணம் கொடுக்கப் போகிறேன்.
அதாவது, கோபிக்கு இன்று 2 ரூபாய் (முதல் நாள்), நாளை (இரண்டாம் நாள்) 4 ரூபாய், நாளை மறுநாள் (மூன்றாம் நாள்) 6 ரூபாய் என ஒவ்வொரு நாளும் இரண்டு இரண்டு ரூபாய்களாக அதிகப்படுத்தி கொடுப்பேன். ஆனால், சீனுவிற்கு தினந்தோறும் 15 ரூபாய்கள் கொடுப்பேன். இம்முறையில் நீங்கள் இருவரும் சேமிக்கும் பணம் என்று சமமாக வருகிறதோ, அந்நாளில் நாம் அனைவரும் அஞ்சல் அலுவலகத்திற்கு சென்று முறையான சேமிப்பு கணக்கை தொடங்கலாம்” என்றார். இதை கேட்ட இரு மகன்களும் உற்சாகத்தில் குதித்தனர்.
நமது நோக்கம்
மாணவர்களே, வாருங்கள் கோபியும், சீனுவும் எப்பொழுது சேமிப்பு கணக்கை தொடங்குவார்கள் என பார்ப்போம். இவ்விருவரிடம் n-வது நாளில் மொத்த பண அளவு சமமாக இருக்கும் என்று கருதுவோம். இப்பொழுது இந்த n மதிப்பை கண்டறிவதே நமது நோக்கமாகும்.
ஒவ்வொரு நாளும் கோபியின் சேமிப்பை முதலில் கணக்கிடுவோம். முதல் நாள் 2, இரண்டாம் நாள் 4 = 2 × 2, மூன்றாம் நாள் 6 = 2 × 3, நான்காம் நாள் 8 = 2 × 4, ஐந்தாம் நாள் 10 = 2 × 5, . . .
எனவே n வது நாளில் கோபியிடம்
2 × n = 2n அளவு பணம் இருக்கும். ஆகையால், முதல் நாளிலிருந்து n வது நாள் வரை கோபியிடம் இருக்கும் மொத்த பண அளவு 2+4+6+....+2n ஆகும்.
பத்தாம் வகுப்பில் 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 என்ற சூத்திரத்தை படிப்பீர்கள். அதாவது முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல் மதிப்பு n(n+1)/2 ஆகும்.
இதை பயன்படுத்தினால், கோபியிடம் மொத்தம் 2+4+6+....+2n = 2(1+2+3+...+n) = 2 x n(n+1)/2 = n(n+1) என்ற அளவில் பணம் இருக்கும்.
மொத்த பணம் எவ்வளவு?
இப்பொழுது சீனுவின் மொத்த பண மதிப்பை கணக்கிடுவோம். ஒவ்வொரு நாளும் சீனு சரியாக 15 ரூபாய்களை பெறுவதால் n வது நாள் வரை அவனிடம் இருக்கும் மொத்த பணம் 15+15+15+...+15 = 15n ஆகும்.
n வது நாளில் இருவரிடம் இருக்கும் மொத்த பணத்தின் அளவு சமமாக இருப்பதால் n(n+1)=15n என கிடைக்கும். இதிலிருந்து நாம் பெறுவது n+1=15n=14 ஆகும். எனவே 14-வது நாளின் போது இருவரிடமும் 2+4+6+....+28=15x14=210 ரூபாய்கள் சம அளவில் இருக்கும் என்பதை மேற்கண்ட கணக்கீட்டின்படி தெரிந்து கொள்ளலாம். ஆகையால், பதினான்காம் நாளன்று இருவரும் தபால் அஞ்சல் அலுவலகத்திற்கு சென்று தங்கள் சேமிப்பு கணக்கை 210 ரூபாய் முதலீடாக போட்டு தொடங்குவார்கள் என அறிகிறோம்.
கட்டுரையாளர், கணித ஆசிரியை,
பை கணித மன்றம்.