1 = 2. அட இதெப்படி சாத்தியம் என்று தோன்றலாம். நாம் இதுவரை கற்ற சில அடிப்படை கணிதத்தை வைத்தே இதை நிறுவலாம். தவறுக்கும் கணிதப் போலிக்கும் (Mathematical Fallacy) இடையே மிகச் சிறிய வித்தியாசம்தான். தவறு என்றால் ஒரு சமன்பாட்டின் இடப்பக்கம் ஒன்றைக் கூட்டிவிட்டு, வலப்பக்க ஒன்றைக் கழிப்பது.
X + y = 2 என்று இருக்கும்போது, இரண்டு பக்கமும் எண் இரண்டைக் கழித்தால் சரி
X + y - 2 = 2 -2 = 0
ஆனால் இதுவே
X + y 2 = 2 – 2 என்று ஒரு பக்கம் 2-ஐ கூட்டியும் மறுபக்கம் 2-ஐ கழித்தும் உள்ளோம். இது தவறு. அப்படியெனில் போலி?
49-ஐ 98-ஆல் வகுக்க வேண்டும். வரும் பின்னம் என்ன?
விடை சரி, ஆனால் இடையில் 49-ல் இருக்கும் 9-ஐயும் 98-ல் இருக்கும் 9-ஐயும் நீக்க முடியுமா? இரண்டு எண்கள் பெருக்கலில் இருக்கும்போது அது சரி
ஆனாலும் சில எண்களுக்கு மட்டும் இப்படி விடை சரியாக வந்துவிடும். 49/98ன் விடை ½ தான்.
1=2-ஐ எப்படி நிறுவுவது?
இரண்டு மாறிகளை எடுத்துக்கொள்வோம் x,y. [ஏன் எப்போதும் தெரியாததை X என்று எழுதுகின்றோம், மற்ற எழுத்துக்களை எழுதலாமே? இந்தக் கேள்வி இயற்கணிதம் படிக்கும் ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் வரும். நம்ம ஊர் மட்டுமல்ல, எல்லா நாடுகளிலுமே வரும். இயற்கணிதம் உருவான போது தெரியாத எண்ணை (unknown) X என்று குறிப்பிட்டனர். அதற்கும் ஒரு வரலாறு உண்டு. அதனையே வழிவழியாகப் பயன்படுத்துகின்றோம். சரி x,y-க்கு பதில் தமிழ் எழுத்துக்கள் அ, ஆ பயன்படுத்தலாமா? நிச்சயம் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் யாருக்கு எழுதுகின்றோமோ அவருக்கு அந்தப் புரிதல் வேண்டும். இதுவே வேறு மொழிக்கு மாறுகிறது எனில் அப்போது சிக்கல் வரும். விளக்கும்போது சிக்கல் வரலாம்.
சரி இப்போது நாம் x =y ல் இருந்து ஆரம்பிப்போம்.
1. x = y
[இரண்டு பக்கமும் x ஆல் பெருக்குவோம்]
2. x X x = y X x ; x2 = xy
[இரண்டு பக்கமும் y2 ஆல் கழிப்போம்]
3. x2 - y2 = xy – y2
[இதனை எளிமையாக்குவோம்.]
4. (x + y) (x - y) = y (x-y)
[இரண்டு பக்கத்தையும் (x-y) ஆல் வகுப்போம்]
5. (x + y ) = y
[முதலில் x =y என ஆரம்பித்தோம், ஆகவே yஐ x என்று மாற்றுவோம்]
6. x + x = x ; 2x = x
[இரண்டு பக்கமும் x ஆல் வகுப்போம்]
7. 2 = 1
அதெப்படி 2=1 சாத்தியமாகும்? எந்த படியில் தவறு செய்துள்ளோம்? கணிதத்தின் அடிப்படை விதிகளை பின்பற்றியுள்ளோம். இரண்டு பக்கமும் பெருக்கல், இரண்டு பக்கமும் கழித்தல், இரண்டு பக்கமும் வகுத்தல், இதைத்தானே செய்துள்ளோம். ஆனாலும் ஏதோ தவறு நிகழ்ந்துள்ளது. படி 4-க்கும் 5-க்கும் இடையே அது நிகழ்ந்துள்ளது. (x-y) ஆல் வகுத்துள்ளோம் அல்லவா? X = y. ஆகவே (x-y) = 0. இரண்டு பக்கமும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்துள்ளோம்.
பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் வரும் விடையை நிர்ணயிக்கவே முடியாது. இப்படி கணிதத்தில் சில போலி நிறுவல்கள் நமக்குத் தெரியாமலே இருக்கும். அடிப்படைகளைச் சரியாக கற்றால் இதை இனம் கண்டுகொள்ளலாம்.
- கட்டுரையாளர்: சிறார் எழுத்தாளர், ‘மலைப்பூ’, ‘1650 முன்ன ஒரு காலத்திலே’ உள்ளிட்டவை இவரது நூல்கள். தொடர்பு: umanaths@gmail.com