கதை வழி கணிதம் - 17: நரி எதனால் தோற்றது?

இரா.செங்கோதை

காட்டுக்குள்ளே ஒரு போட்டி நடக்கிறது. போட்டியின் பல சுற்றுக்களின் முடிவில் நரியும், கரடியும் கடைசி சுற்றில் மோதின. இறுதிச் சுற்றின் விதிமுறைப்படி, இருவருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி ஒதுக்கப்படும். அங்கு ஒரு பையில் ஐந்து பக்கங்கள் கொண்ட தரை ஓடுகளும் மற்றொரு பையில் மூன்று பக்கங்கள் கொண்ட தரை ஓடுகளும் இருக்கும். ஒவ்வொரு ஓட்டிற்கு நடுவில் இடைவெளியோ அல்லது ஒன்றிற்கு மேல் ஒன்றோ அமைய கூடாது. யார் முதலில் அவர்கள் இடத்தில் ஓடுகளை அடுக்கி முடிக்கிறார்களோ அவரே வெற்றியாளர்.

மூன்று பக்க ஓடுகளை விட ஐந்து பக்க ஓடுகள் மூலம் விரைவாக நிரப்பிவிடலாம் என்ற யோசனையில் நரி ஐந்து பக்க ஓடுகளை தேர்ந்தெடுத்தது. கரடி மூன்று பக்க ஓடுகளை கொண்ட பையை எடுத்துக்கொண்டது.

கரடியின் வெற்றி ரகசியம்

சிறிது நேரத்தில் கரடி கொடுத்த இடத்தை மிகச் சரியாக மூன்று பக்க ஓடுகளைக் கொண்டு நிரப்பிவிட்டது. ஆனால், எவ்வளவு முயன்றும் நரியால் கொடுத்த விதிமுறைக்கு உட்பட்டு சரிவர அடுக்க முடியாமல் திணறியது. இதனால் கரடி வெற்றி பெற்றது. ஏன் நரியால் வெற்றி பெற முடியவில்லை?

ஐந்து பக்க ஓடுகளை நரி தேர்ந்தெடுத்ததே அதன் தோல்விக்குக் காரணமாக அமைந்தது. வடிவியல் கோட்பாட்டுப்படி, n சமபக்க பலகோணத்தில் ஒவ்வொரு உட்கோண மதிப்பு n-2/nx1800 என இருக்க வேண்டும். இதன்படி, சமபக்க ஐங்கோணத்தில் ஒவ்வொரு உட்கோண மதிப்பும் 3/5x1800=1800 என இருக்க வேண்டும். அதேபோல் சமபக்க முக்கோணத்தில் ஒவ்வொரு உட்கோண மதிப்பும் 1/3x1800=600 என இருக்கும்.

ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி இருக்கும் மொத்த கோண மதிப்பான 360 டிகிரியை எந்த வடிவத்தின் உட்கோண மதிப்பு கோணம் வகுக்கிறதோ அந்த வடிவ ஓடுகளை வைத்து தரையை இடைவெளி இல்லாமலும் ஒன்றின் மேல் மற்றொன்று அமையாமலும் அடுக்க முடியும். இதன்படி 108 டிகிரி மதிப்பு 360 டிகிரி மதிப்பை வகுக்க முடியாததால் நரியால் ஐங்கோண வடிவ ஓடுகளை கொண்டு தரையை நிரப்ப முடியாமல் போனது. ஆனால், 360 டிகிரி மதிப்பை 60 டிகிரி வகுப்பதால் முக்கோண ஓடுகளை வைத்து கரடியால் தரையை நிரப்பிவிட முடிந்தது. இந்த காரணத்தாலேயே கரடி வெற்றி பெற்றுது. வடிவியலில் படிக்கும் இதுபோல பல செய்திகள் மிகப்பெரிய பயன்பாடுகளை நமது அன்றாட வாழ்வில் பெற்றுள்ளது.

கட்டுரையாளர்: கணித ஆசிரியை, பை கணித மன்றம்