பூமியை மாற்றிய கணிதப் புத்தகம்

யூக்லிட் எனும் கணித மேதை தொகுத்த ‘தி எலிமென்ட்ஸ்’ (The Elements) கணிதத்தில் தோன்றிய உலகின் முதல் புத்தகமாக அறியப்படுகிறது.

கி.மு. 300-ல் 13 பாகங்களாக வெளியிடப்பட்ட நூல் அது. அவருக்கு முன்னால் தோன்றிய கிரேக்க நாட்டுக் கணித மேதைகளின் படைப்புகளையும், தமது சொந்தக் கண்டுபிடிப்புகளான கணிதக் கருத்துகளையும் இணைத்து யூக்லிட் வெளியிட்டார். இதற்கு அவருக்குக் கிட்டத்தட்ட 25 ஆண்டுகள் பிடித்ததாம்.

இதன் முதல் 6 தொகுப்புகளில் வடிவியல் சார்ந்த அடிப்படைக் கோட்பாடுகளும், அடுத்த 3 தொகுப்புகளில் எண்ணியல் சார்ந்த சிந்தனைகளும், 10-ம் தொகுப்பில் விகிதமுறா எண்களின் அமைப்பும், இறுதி மூன்று தொகுப்புகளில் கன வடிவியல் சிந்தனைகளும் உள்ளன.

புத்தகத்தின் அமைப்பு

உலகளவில் கணிதப் பாடம் பயிலும் அனைத்து நாட்டு மாணவர்களுக்கும் இந்தப் புத்தகத்தில் வழங்கியுள்ள கணிதக் கோட்பாடுகளே இன்று கற்பிக்கப்படுகின்றன. கிட்டத்தட்ட 2,300 ஆண்டுகளாகக் கணிதத்தின் அடிப்படைக் கூறுகளின் பொக்கிஷமாக இந்தப் புத்தகம் உள்ளது. பிற்காலத்திய கணிதப் புத்தகங்களுக்கு இன்றும் இதுவே ஆதார நூல்.

யூக்லிட் தனது முதல் தொகுப்பில் 23 வரையறைகள், 5 கருதுகோள்கள், (கருதுகோள்கள் என்பவை நிரூபணம் அல்லாத உண்மைகள்) 5 பொது அடிப்படைகளைக் கருத்தில் கொண்டு மற்ற தேற்றங்களை நிரூபிக்கத் தயார்ப்படுத்திக்கொண்டார். அவரது ஐந்து கருதுகோள்கள் வருமாறு:

1. எப்புள்ளியிலிருந்தும் மற்றொரு புள்ளிக்கு ஒரு நேர்க்கோடு வரைய முடியும்.

2. கொடுத்த நேர்க்கோட்டிலிருந்து முடிவுள்ள தொடர்ச்சியான நேர்க்கோடு அமைக்கலாம்.

3. ஒரு புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு, குறிப்பிட்ட தொலைவில் (ஆரம்) ஒரு வட்டத்தை வரையலாம்.

4. எல்லாச் செங்கோணங்களும் சமமானவை.

5. ஒரு நேர்க்கோடு, மற்ற இரு நேர்க்கோடுகளைச் சந்திக்கும்போது, அதன் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்த உட்புறக் கோணங்களின் மதிப்பு இரு செங்கோணங்களை விடக் குறைவாக அமைந்தால், அந்த பக்கத்தில் நீளும் இரு கோடுகளும் ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும்.

முதன் முறையாக தேற்றங்கள்

யூக்லிட்டின் ஐந்தாம் கருதுகோள் கணிதத்தில் புரட்சியை ஏற்படுத்தியது. பிற்காலத்திய சில கணித மேதைகள் ஐந்தாம் கருதுகோள் எல்லா நிலையிலும் உண்மையாகாது என்றார்கள். ஆனால், அவர்களால் அதை நிரூபிக்க இயலவில்லை. இந்தக் கருத்தால், புதிய வடிவியல் சிந்தனைகள் உருவாகின. அந்தச் சிந்தனைகளே ஐன்ஸ்டைனின் பொதுச் சார்பியல் கோட்பாட்டின் நிரூபணத்துக்கு உதவின.

மேற்கண்ட வரையறைகள், கருதுகோள்கள், பொது அடிப்படைகளை அடித்தளமாகக் கொண்டு யூக்லிட் தனது பதிமூன்று தொகுப்புகளில் முறையே 48, 13, 37, 16, 25, 37, 39, 27, 36, 115, 39, 18, 18 தேற்றங்கள் என 468 தேற்றங்களை அமைத்தார்.

‘தி எலிமென்ட்ஸ்’ புத்தகத்தில் கணிதத்தின் பல முக்கியத் தேற்றங்கள் முதன்முறையாக இடம்பெற்றுள்ளன. உதாரணமாக அனைவரும் அறிந்த பைத்தாகரஸ் தேற்றம் முதல் தொகுப்பில் 47-வது தேற்றமாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

நிரூபண முறை அறிமுகம்

இதேபோல், வட்டங்களைப் பற்றிய தேற்றங்கள், இரு எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி அறியும் முறை, பகா எண்கள் எண்ணற்றவை, கனவடிவங்களின் அரிய பண்புகள் போன்ற மிகச் சிறந்த கணிதத் தேற்றங்கள் முதன்முறையாக ‘தி எலிமென்ட்ஸ்’ புத்தகத்தில் தோன்றின.

அநேகத் தேற்றங்கள் யூக்லிட் வாழ்ந்த காலத்துக்கு முன்பே அறியப்பட்டவை. எனினும் புத்தக வடிவில் நிரூபண முறைகளோடு ஒருங்கிணைத்து, அழகாகத் தொகுத்து வழங்கிய பெருமை யூக்லிடையே சாரும். இவருக்கு முன் எந்தத் தேற்றத்தை யார் வழங்கினார்கள் என்பதையும் யூக்லிட் மிக நேர்மையாகத் தெரிவித்திருந்தார்.

கணிதத்துக்கு ஆதாரமாக விளங்கும் நிரூபண முறையை முதன்முதலாக இதுவே அறிமுகப்படுத்தியது.

யூக்லிட் வழங்கிய முதல் ஆறு தொகுப்புகளின் வடிவியல் தேற்றங்களை அழகிய படங்களுடன் 1847-ல் ஒலிவர் பிரைன் என்பவர் விளக்கியுள்ளார்.

அதை நீங்கள் >http://goo.gl/VSPU03 என்ற சுட்டியில் பார்க்கலாம். இது ஆசிரியர்களுக்கு வடிவியல் கற்பிக்கப் பேருதவி செய்யும்.

சாதனைப் புத்தகம்

அதிக மொழிகளில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு, பல்வேறு பதிப்புகளில் வெளிவந்து சாதனை படைத்த புத்தகங்களில் இதுவும் ஒன்று. இதனை மகாராஷ்ட்டிரத்தைச் சேர்ந்த பண்டித ஜகந்நாத சாம்ராட் (1652 1744) என்பவர் அரபியிலிருந்து சமஸ்கிருதத்துக்கு மொழிபெயர்த்துள்ளார். இந்த புத்தகம் இன்னும் தமிழில் வரவில்லை.

தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com