டி.என்.பி.எஸ்.சி குரூப் 1 தேர்வு பயிற்சிக்கான எளிய முறை குறிப்புகள் - பகுதி 2

தமிழ்நாடு அரசு பணியாளர் தேர்வாணையம் (டி.என்.பி.எஸ்.சி) நடத்தும் குரூப் 1 தேர்வுகள் நவம்பர் 19 அன்று நடத்தப்பட இருக்கின்றன. குரூப்-1 தேர்வுக்கு தயார்செய்துவரும் போட்டியாளர்கள், மாணவர்களுக்கு உதவும் வகையில் ஒவ்வொரு பாடத்துக்குமான எளிய முறை குறிப்புகளை போட்டித் தேர்வு பயிற்சியாளர், குளோபல் விக்கிமாஸ்டர் ஜி.கோபாலகிருஷ்ணன் தொகுத்தளிக்கிறார். கடந்த புதன்கிழமை (21.09.2022) அன்று தொடங்கிய இந்தத் தொடரின் முதல் பகுதியில் ‘கணிதம் 1’ என்னும் தலைப்பில் எளிய முறை குறிப்புகள் வெளியாகியிருந்தன. இன்று அதன் தொடர்ச்சியாக இரண்டாம் பகுதி வெளியாகிறது.

கணிதம் - எளிய முறை குறிப்புகள் 2

* சராசரி - = (கொடுத்துள்ள அனைத்து எண்களின் கூடுதல்) ÷ (எண்களின் எண்ணிக்கை)
ஒரு புதிய எண்ணை சேர்த்தவுடன் சராசரி மாற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், புதிய எண்ணை எளிதில் கண்டறிய கீழ்க்கண்ட முறையை பயன்படுத்தலாம்.
புதிய எண் = புதிய சராசரி + (பழைய எண்ணிக்கை)×(சராசரி மாற்றம்)
இங்கு மாற்றம் (புதிய சராசரி - பழைய சராசரி) மிகை அல்லது குறையெண்ணாக இருக்கலாம்.

* விகிதங்கள் - விகிதங்களில் a : b = c : d எனில் ad = bc .
விகிதம் a : b கொடுத்து
(xa + yb) ÷ (ta + sb) போன்ற ஒருபடித்தான கோவையின் (homogeneous function) மதிப்பை அறிய a ,b என்ற மாறிகளின் மதிப்புகளை பிரதியிட்டு கணக்கிடலாம். இங்கு x,y,s மற்றும் t என்பன மாறிலிகளாகும்.

Alligation விதி : ஒரு வகுப்பில் உள்ள மொத்த மாணவ, மாணவியர்களின் சராசரி வயது 'm' . மேலும் x மாணவர்களின் சராசரி வயது 'a' ,
y மாணவிகளின் சராசரி வயது 'b' எனில் மாணவ மாணவிகளின் எண்ணிக்கை விகிதம் x : y அறிய
xa + yb = (x + y)m ஐ பயன்படுத்தலாம்.

a>m>b எனில்

x : y (விகிதம்)
a b (தனி சராசரிகள்)
m (மொத்தச் சராசரி)
(m - b) : (a - m) = x : y

a a<m<b எனில்

x : y = (b - m) : (m - a)

* இரு சதுரங்களின்/வட்டங்களின்
பக்கங்களின்/ஆரங்களின் விகிதம் a : b என கொடுக்கப்பட்டால் அவைகளின் மூலைவிட்டம்/விட்டம், சுற்றளவு மற்றும் பரப்புகளின் விகிதங்களை அறிய
பக்கம்/ ஆரம் = a : b
மூலைவிட்டம்/விட்டம் = a : b
சுற்றளவு = a : b
பரப்பளவு = a^2 : b^2

* ax = by = cz எனில்
x : y : z = 1/a : 1/b : 1/c

*லாப விகிதம்
பங்குதாரர்கள் கணக்குகளில்
லாப விகிதம் கணக்கிட
முதலீடு விகிதங்களையும் கால விகிதங்களையும் முறையாக பெருக்க வேண்டும்.
மூன்று பங்குதாரர்களின்
முதலீடுகளின் விகிதம் a : b :c ஆகவும் முதலீடுகளின் கால விகிதம் m : n : p ஆக இருக்கும்போது லாப விகிதம்
am : bn : cp என கணக்கிட வேண்டும்.

* 2(1/2) % = 1/40 ;
3(1/3) % = 1/30
20% = 1/5 ; 25% = 1/4
40% = 2/5 ; 50% = 1/2
60% = 3/5 ; 75% = 3/4
போன்ற சில விழுக்காடுகளின் மதிப்புகளை பின்ன வடிவில் நினைவில் கொண்டால் பல கணக்குகளை விரைவில் கணக்கிடமுடியும்.

* இரு பெருக்கல் விதி
(double product rule)
A, B என்ற இரு எண்களில் ஒவ்வொன்றும் முறையே x% மற்றும் y% மாற்றம் கொடுக்கப்படுகிறது எனில் பெருக்கற்பலன் AB இல்
மாற்றம் [x + y + (xy/100)]% ஆகும்.
செவ்வகம், சதுரம், முக்கோணம், வட்டம் ஆகியவற்றின் பக்கங்கள்/ஆரம் ஆகியவற்றில் மாற்றங்கள் விழுக்காடுகளில் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் பரப்புகளின் மாற்றம் எவ்வளவு விழுக்காடு எனக் கண்டறிய இவ்விதியை உபயோகிக்கலாம்.

*பரப்பு சூத்திரங்கள்
செவ்வகம் - நீளம் × அகலம்
முக்கோணம் -அடிப்பக்கம்× உயரம்
சதுரம் - பக்கம் × பக்கம்
வட்டம் - pi × ஆரம் × ஆரம்

*தொடர் தள்ளுபடிகளுக்கு சமமான ஒரே தள்ளுபடி கண்டறியவும் இவ்விதி பயன்படும். தள்ளுபடிகளைக் குறை எண்ணாக (negative) எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
பொதுவாக மாற்றங்கள் அதிகரித்து இருப்பின் மிகையெண்ணாகவும்(positive) குறைந்து இருப்பின் குறையெண்ணாகவும் பாவிக்க வேண்டும்.
கன அளவில் விழுக்காடு மாற்றம்
காண இவ்விதியை இருமுறைகள் உபயோகிக்க வேண்டும்.

* மற்றொரு விதி : A என்ற எண் B என்ற எண்ணைக் காட்டிலும் x% அதிகம்/குறைவு எனில் B ஆனது A ஐ விட எத்தனை விழுக்காடு
குறைவு/அதிகம் என அறிய
【 x/(100+x)】× 100%அல்லது
【 x/(100-x)】× 100% பயன்படுத்தலாம்.
ஒரு எண்ணில் x% அதிகம் அல்லது x% குறைவு ஏற்படுத்திய பின், முன்னிருந்த நிலைக்கே அவ்வெண்ணை கண்டறியவும்
இவ்விதியை பயன்படுத்தலாம்.

பரப்பு மாறாமல் (இரு பெருக்கல் விதி கணக்குகளில்) ஏதாவது ஒன்றை x% அதிகரித்தோ அல்லது குறைத்தோம் எனில் மற்றொன்றில் எத்தனை விழுக்காடு குறையும் அல்லது அதிகரிக்கும் என அறியவும் இவ்விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

* இரு வெவ்வேறு பொருட்களின் அடக்க விலைகள் சமமாக இருந்து, விற்கும்போது ஒரு பொருளில் x% லாபமும் மற்றொன்றில் x% நட்டமும் ஏற்பட்டால் நிகர லாபமும் இல்லை. நிகர நட்டமும் இல்லை.
இரு வெவ்வேறு பொருட்களின் அடக்க விலைகள் வெவ்வேறாக இருந்து, இரு பொருட்களையும் சம விலைகளில் விற்கும்போது ஒரு பொருளில் x% லாபமும் மற்றொன்றில் x% நட்டமும் ஏற்பட்டால் நிகர நட்டம்
【(x^2)/100】% ஆகும்.

* தனிவட்டி I =Pnr/100

தொடர்வட்டி மற்றும் கூடுதல் A காண (ஆண்டுக்கொருமுறை வட்டி அசலுடன் சேர்த்தால்)
A1 = P + I' ; A2 = P + 2I' + I'' ;
A3 = P + 3I' + 3I'' + I'''
I' - அசல் Pக்கு r% வட்டி வீதத்தில் ஒராண்டுக்கான தனிவட்டி. முதல் ஆண்டில் தொடர் வட்டியும் தனிவட்டியும் சமம்.
I'' - அசல் I'க்கு r% வட்டி வீதத்தில் ஒராண்டுக்கான தனிவட்டி
I''' - அசல் I''க்கு r% வட்டி வீதத்தில் ஒராண்டுக்கான தனிவட்டி.
A1- ஒராண்டுக்கான கூடுதல்
A2 - இரண்டாண்டுக்கான கூடுதல்
A3 -மூன்றாண்டுக்கான கூடுதல்
கூடுதல் கோவையில் P ஐ விடுத்து கோவையின் மற்ற உறுப்புகளின் கூடுதலே தொடர்வட்டி.
இரண்டாண்டுகளுக்கான தொடர்வட்டி = 2I' + I''
மூன்றாண்டுகளுக்கான தொடர்வட்டி = 3I' + 3I'' + I'''
தொடர்வட்டிக்கும் தனிவட்டிக்கும் உள்ள வித்தியாசம் கூடுதல் கோவையின் முதல் இரு உறுப்புகளை விடுத்து மற்ற உறுப்புகளை கூட்டி அறிய வேண்டும்.
தொடர்வட்டிக்கும் தனிவட்டிக்கும் உள்ள வித்தியாசம்
முதலாண்டு முடிவில் = 0
இரண்டாமாண்டு முடிவில் = I''
மூன்றாமாண்டு முடிவில் = 3I'' + I'''

ஒரு அசல் P , r% தனிவட்டி வீதத்தில் 'n' ஆண்டுகளில் இரட்டிப்பு ஆகிறது எனில் அதே அசல் m மடங்காக '(m - 1)n' ஆண்டுகளாகும்.

ஒரு அசல் P , r% தொடர்வட்டி வீதத்தில் 'n' ஆண்டுகளில் இரட்டிப்பு ஆகிறது எனில் அதே அசல் 2^m மடங்காக 'mn' ஆண்டுகளாகும்.

(செப்டம்பர் 26 திங்கள்கிழமை அன்று வெளியிடப்படும் பகுதியில் ‘கணிதம்’ குறிப்புகள் தொடரும்)

தொகுப்பு - ஜி.கோபாலகிருஷ்ணன், போட்டித்தேர்வு பயிற்சியாளர், குளோபல் விக்கிமாஸ்டர்