முயல் கணிதம்

1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ....

மேலே உள்ள வரிசை எண்களைப் பார்த்தால் உங்களுக்கு என்ன தோன்றுகிறது? இந்த வரிசையில் இடம்பெற்றிருக்கும் முதல் இரண்டு எண்கள் 1. இதை அடுத்துத் தொடரும் எண்கள், முந்தைய இரு எண்களின் கூட்டுத் தொகை இல்லையா?

இந்த எண் வரிசையை ‘பிபோனாச்சி’ (Fibonacci) எண் வரிசை என்று சொல்வார்கள். இதை உருவாக்கியவரின் பெயர் பிபோனாச்சி. அதனால்தான் இந்த எண் வரிசைக்கு இந்தப் பெயர் வந்தது. ‘பிபோனாச்சி’ எந்த அடிப்படையில் இந்த எண் வரிசையை உருவாக்கினார்? அதற்கு ஒரு சுவாரஸ்யமான வரலாறு இருக்கிறது.

13-ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த தலைசிறந்த கணித மேதைகளில் ஒருவர்தான் இந்த பிபோனாச்சி. இவர் அரேபியா முழுவதும் சுற்றுப்பயணம் செய்து லிபர் அபசி (Liber Abasi) என்ற நூலை எழுதினார். இந்த நூலில்தான் ‘பிபோனாச்சி’ எண் வரிசை பற்றிய குறிப்பு உள்ளது.

பிபோனாச்சி முயல்களின் இனப்பெருக்கதைப் பற்றி சிந்தித்தபோது, அவருக்கு இப்படித் தோன்றியது. அதாவது, ஒரு ஜோடி முயல் குட்டிகள் புதிதாகப் பிறக்கின்றன. ஒரு மாதம் கழிந்தவுடன் அவை இனப்பெருக்கம் செய்யும் தகுதியை அடைகின்றன. இரண்டாம் மாதக் கடைசியில் அவை புதிய ஒரு ஜோடி முயல் குட்டிகளைப் பெற்றெடுக்கின்றன. இந்த நிகழ்வு தொடர்ந்து ஒரு வருடம் நடக்கிறது. முயல் குட்டிகளில் இறப்பெல்லாம் நடப்பதில்லை. தாய் முயலின் கர்ப்ப காலம் ஒரு மாதம். அப்படியானால், ஒரு வருடக் கடைசியில் மொத்தம் எத்தனை ஜோடி முயல்கள் இருக்கும்?

இதற்கான விடையை பிபோனாச்சி இப்படி அளித்தார்:

தொடக்கத்தில் ஒரு ஜோடி முயல் குட்டிகள் இருக்கின்றன. ஒரு மாதத்துக்குப் பிறகும் அதே ஒரு ஜோடி முயல்கள்தான் இருக்கின்றன. ஆனால், இப்போது அவை இனப்பெருக்கம் செய்யும் தகுதியை அடைந்துவிட்டன. எனவே, இரண்டு மாதங்களுக்குப் பிறகு அவை இரண்டு ஜோடி முயல்களாகின்றன. இப்போது, இவற்றில் ஒரு ஜோடி மட்டுமே இனப்பெருக்கத் தகுதியுடையது. இந்த ஜோடி ஈன்றெடுக்கும் முயல் ஜோடிகள் சேர்ந்தால், மூன்று மாதங்களுக்குப் பிறகு 3 ஜோடி முயல்கள் இருக்கும். இவற்றில், 2 ஜோடி இனப்பெருக்கத் தகுதி பெற்றவை. எனவே, 4 மாதங்களுக்குப் பிறகு 5 ஜோடி முயல்கள் இருக்கும்.

இப்படிக் கணக்கிட்டுக்கொண்டே போனால் 12 மாதங்கள் கழித்து மொத்தம் 233 ஜோடி முயல்கள் இருக்கும். தொடக்கத்திலிருந்து மாதந்தோறும் கூடிக்கொண்டு போகும் முயல் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கையை ‘பிபோனாச்சி’ பின்வரும் வரிசையின் மூலம் குறிப்பிட்டார் :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.

இதேபோல் 1,1, 2, 3, 5, 8, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597... என்று இந்த வரிசையை நாம் நீட்டிக்கொண்டே போகலாம். கூட்டல் பயிற்சிக்கு பிபோனாச்சி வரிசை முறை நமக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதில் சந்தேகம் இல்லை!