கணிதப் புதிர்கள் 22: எந்த இரு பேட்டரிகள் சரியானவை?

என். சொக்கன்

ஆனந்தன் வீட்டில் இன்று நிலாச்சோறு. இரவு நேரத்தில், வீட்டின் மொட்டைமாடியில் நிலா வெளிச்சத்தை ரசித்தபடி சாப்பிடுவதுதான் நிலாச்சோறு. ஆனால், வழக்கமான இரவு உணவுக்கும் இதற்கும் சில முக்கியமான வேறுபாடுகள் உண்டு. நிலாச்சோற்றைப் புதுமையாகவும் இனிமையாகவும் ஆக்குபவையே இந்த வேறுபாடுகள்தாம்.

முதலில், தனியாகச் சாப்பிடக் கூடாது. நண்பர்கள், உறவினர்கள், பிள்ளைகள், பெரியவர்கள் எல்லோரும் வட்டமாக அமர்ந்துகொண்டு பேசிச் சிரித்தபடி சாப்பிட வேண்டும்.

அடுத்து, சாப்பாட்டைத் தட்டிலிருந்து எடுத்துச் சாப்பிடக் கூடாது, அம்மாவோ அப்பாவோ பாட்டியோ தாத்தாவோ சாப்பாட்டை நன்றாகப் பிசைத்து ஆளுக்கு ஓர் உருண்டையாக உருட்டித் தருவார்கள், அதை அப்படியே உள்ளங்கையில் வாங்கிச் சாப்பிட வேண்டும்.

ஆனந்தனுடைய அப்பாவும் அம்மாவும் சிறுவயதில் நிலாச்சோறு சாப்பிட்டு வளர்ந்தவர்கள். ஆகவே, அடுத்த தலைமுறைக்கும் அதே அனுபவத்தை அறிமுகப்படுத்தினார்கள். ஆனந்தனுக்கும் அவனுடைய நண்பர்களுக்கும் இது மிகவும் பிடித்துப் போய்விட்டதால், மாதத்துக்கு ஒருமுறையாவது நிலாச்சோறு உண்டு.

அன்றைய நிலாச்சோறுக்காகச் சாப்பாடு தயாராகிக்கொண்டிருந்தது; அப்பா மேசையில் ஏதோ தேடிக்கொண்டிருந்தார்.

‘‘என்ன தேடறீங்கப்பா?”

‘‘டார்ச்சைக் காணோம். நீ பார்த்தியா?”

‘இல்லையே’ என்றபடி ஆனந்தனும் தேட ஆரம்பித்தான், ‘‘ஏன்ப்பா, வானத்துலதான் நிலா வெளிச்சம் இருக்கே, டார்ச் எதுக்கு?”

அப்பா சிரித்தார். ‘‘நிலா வெளிச்சம் அழகுதான்; ஆனா, ராத்திரி நேரத்துல ஒரு டார்ச் இருக்கறது நல்லது” என்று சொல்லிக்கொண்டிருந்தபோதே டார்ச் கிடைத்துவிட்டது. ஆனால், விளக்கு எரியவில்லை. டார்ச்சைத் திறந்தார். பேட்டரி இல்லை.

‘‘இந்த டார்ச்சுக்கு ரெண்டு பேட்டரி வேணுமே” என்றபடி உள்ளறையை நோக்கிக் குரல் கொடுத்தார்.

‘‘அலமாரியில மூணாவது தட்டுல வெச்சிருக்கேன்.”

அங்கே எட்டு பேட்டரிகள் இருந்தன.

‘‘அதுல நாலு பேட்டரி புதுசு, மத்த நாலும் தீர்ந்து போன வெத்து பேட்டரி.”

‘‘இதுல எது நல்ல பேட்டரி, எது தீர்ந்து போன பேட்டரின்னு தெரியலையே!”

‘‘ஒவ்வொண்ணாப் போட்டுப் பார்த்துதான் கண்டுபிடிக்கணும்.”

‘‘அம்மா, அது அவ்ளோ சுலபமில்லை. ரெண்டு பேட்டரியும் நல்ல பேட்டரியா இருந்தால்தானே டார்ச் வேலை செய்யும். அதனால, இந்த எட்டு பேட்டரிகளையும் வெவ்வேறவிதமா மாத்திமாத்திப் போட்டுப் பார்க்கறதுக்கு ரொம்ப நேரமாகுமே!”

‘‘ஆமாம். முதல் பேட்டரியை எடுத்து மத்த ஏழு பேட்டரியோடயும் போட்டுப் பார்க்கணும், அந்த ஏழு கூட்டணியுமே வேலை செய்யலைன்னா, அதை ஓரமா வெச்சுடணும். அடுத்து, ரெண்டாவது பேட்டரியை எடுத்து மத்த ஆறு பேட்டரியோடயும் போட்டுப் பார்க்கணும். அந்த ஆறு கூட்டணியுமே வேலை செய்யலைன்னா, ரெண்டாவது பேட்டரியையும் ஓரமா வெச்சுடணும், இதே மாதிரி 7 6 5 4 3 2 1ன்னு 28 விதமான கூட்டணிகளில் நாம பேட்டரிகளைப் போட்டுப் பார்க்க வேண்டியிருக்கலாம்.”

‘‘28 முயற்சி எல்லாம் வேண்டாம், அதிகபட்சம் 7 முயற்சி போதும், டார்ச்சை எரிய வெச்சுடலாம்.”

ஆனந்தனுடைய அம்மா சொல்வது சாத்தியம்தானா? ஏழே முயற்சிக்குள் அந்த எட்டு பேட்டரிகளில் இரண்டு நல்ல பேட்டரிகளைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி? முயன்று பாருங்கள்!

விடை:

# இது சற்றுச் சிக்கலான ஆனால், மிகச் சுவையான கணக்கு. நிதானமாகக் கவனியுங்கள், விடை புரியும்.
# முதலில், அந்த எட்டு பேட்டரிகளையும் A,B,C,D,E,F,G,H என்று அழைப்போம். இவற்றில் நான்கு நல்ல பேட்டரிகள், மற்ற நான்கும் தீர்ந்துபோனவை
# இவற்றை 3+3+2என மூன்று குழுக்களாகப் பிரித்துக்கொள்வோம்: A,B,C ஒரு குழு, D,E,F இன்னொரு குழு, G,H மூன்றாவது குழு
# முதலில், A,B,Cயை எடுத்துக்கொண்டு, அவற்றை வெவ்வேறுவிதமாக டார்ச்சில் போட்டுப் பார்க்க வேண்டும்: முதலில் A,B, அடுத்து B,C, நிறைவாக C,A. இவற்றில் ஏதேனும் ஒரு கூட்டணி வேலை செய்தால், நாம் மூன்றே முயற்சிக்குள் டார்ச்சை எரியவைத்துவிடலாம்.
# இந்த மூன்று கூட்டணிகளுமே வேலை செய்யாவிட்டால் என்ன பொருள்? A,B,C மூன்றுமே தீர்ந்துபோன பேட்டரிகளாக இருக்கலாம், அல்லது, அவற்றில் ஒன்று மட்டும் நல்ல பேட்டரியாக இருக்கலாம். (அவற்றில் இரண்டு நல்ல பேட்டரிகளாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. அப்படி இருந்திருந்தால், மூன்று கூட்டணிகளில் ஏதோ ஒன்றின்போது டார்ச் எரிந்திருக்கும்.)
# அடுத்து, D,E,Fஐ எடுத்துக்கொள்வோம். முன்பு போலவே அவற்றை இரண்டிரண்டாக டார்ச்சுக்குள் போட்டு எரிகிறதா என்று பார்ப்போம்: முதலில் D,E, அடுத்து E,F, நிறைவாக F,D. இவற்றில் ஏதேனும் ஒரு கூட்டணி வேலை செய்தால், நாம் ஆறே முயற்சிக்குள் டார்ச்சை எரியவைத்துவிடலாம்
# இந்த மூன்று கூட்டணிகளுமே வேலை செய்யாவிட்டால் என்ன பொருள்? D,E,F மூன்றுமே தீர்ந்துபோன பேட்டரிகளாக இருக்க வாய்ப்பில்லை, ஏனெனில், ஏற்கெனவே A,B,Cயில் இரண்டு அல்லது மூன்று தீர்ந்துபோன பேட்டரிகள் உள்ளன என்று கண்டுபிடித்துள்ளோம், மொத்தமே நான்கு தீர்ந்துபோன பேட்டரிகள்தான் இருக்க முடியும் என்பதால், A,B,Cயில் இரண்டு தீர்ந்துபோன பேட்டரிகள், D,E,Fல் இரண்டு தீர்ந்து போன பேட்டரிகள் என்கிற கணக்குதான் சரியாக இருக்கும்
# ஆக, முதல் ஆறு முயற்சிகளும் தோற்றுப் போய்விட்டன என்றால், A,B,Cயில் அதிகபட்சம் ஒன்றுமட்டும் நல்ல பேட்டரி, D,E,F-ல் அதிகபட்சம் ஒன்று மட்டும் நல்ல பேட்டரி என்று பொருள்.
# அங்கு மொத்தம் நான்கு நல்ல பேட்டரிகள் உள்ளன என்று கமலா சொல்கிறார். ஆகவே, மீதமுள்ள G,H ஆகிய இரண்டும் நல்ல பேட்டரிகளாகத்தான் இருக்கும், அவற்றை டார்ச்சில் போட்டுப் பயன்படுத்தலாம். 3+3+1 என அதிகபட்சம் ஏழே முயற்சிக்குள் டார்ச்சை எரிய வைத்துவிடலாம்.