தொடரிகளுக்கான காப்ரேகர் விதிகள்

1,2,3,4,... இது இயல் எண் தொடர். 4, 3-யின் தொடரியாகும். 10-யின் தொடரி 11. 1000-யின் தொடரி 1001. இத்தொடரில் கடைசி எண் என்ன? சொல்ல முடியாது. இது ஒரு முடிவிலா தொடர்.

முடிவிலாதத் தொடர்கள்

இத்தொடரைப் பாருங்கள்: 2,4,8,16,...ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தியதைப் போல் இரு மடங்காக இருக்கின்றது. இதுவும் ஒரு முடிவிலாத் தொடர்.

1,1, 2, 3, 5, 8,... என்ற தொடரின் அமைப்பு விதியைக் காணமுடியுமா? மூன்றாவது உறுப்பு முதல் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதற்கு முந்திய இரண்டு உறுப்புகளின் கூடுதலாக உள்ளதல்லவா? இதுவும் ஒரு முடிவிலாத் தொடர். இது பிபோநேசி தொடர்(Fibonacci Series) என்று அழைக்கப்படும். இயற்கைக்கும் இதற்கும் நெருங்கிய சம்பந்தங்களைக் கண்டிருக்கிறார்கள்.

காப்ரேகர் விதிகள்

காப்ரேகர் என்ற கணித ஆசிரியர் முடிவுள்ள தொடரை உருவாக்கும் முயற்சியில் ஈடுபட்டுப் பலவகை எண் ஜாலங்களை முன் வைத்தார்.

எடுத்துக்காட்டாக 2434-ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்ட இந்த எண்ணில் ஒரு 2-ம், ஒரு 3-ம், இரண்டு 4-களும் இருக்கின்றன அல்லவா? தொடருக்கு காப்ரேகர் வகுத்த விதியின் படி இதன் தொடரி 121324. இந்த எண்ணில் இரண்டு 1-களும், இரண்டு 2-களும், ஒரு 3-ம், ஒரு 4-ம் இருக்கின்றன. எனவே இதன் தொடரி 21221314 ஆகும். இதன் தொடரி 21321314 அல்லவா? தொடரிகள் காண்பதைத் தொடர்ந்தால் கிடைப்பவை 212212314, 21421314, 31221324, 21322314, 21322314. அதே எண்ணாக இருக்கின்றதல்லவா/ ஆக இத்தொடர் முற்றுப் பெற்றது. ஏழே ஏழு தொடரிகள் தான் இருக்கின்றன.

அந்த எண் என்ன?

மற்றொரு தொடரி விதியைப் பார்ப்போம். 0 ஒரு இலக்கமாக இல்லாத, ஒரு மூன்று இலக்க எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். தொடருக்கான விதி. முதல் இலக்கம் மற்ற இரு இலக்கங்களின் கூடுதல். இரண்டாம் இலக்கம் மற்ற இரு இலக்கங்களின் கூடுதல். அது போல மூன்றாவது இலக்கம் முதல் இரண்டு இலக்கங்களின் கூடுதல்.

எ.கா: 246 யின் தொடரியில் முதல் இலக்கம் 4+6=10. 10-ஐ ஓரிலக்கமாக மாற்ற 1+0=1.

இரண்டாம் இலக்கம் 2+6=8; மூன்றாம் இலக்கம் 2+4=6.

ஆக 246-யின் தொடரி 186. இதன் தொடரியில் முதல் இலக்கம் 8+6=14; 14ஐ ஓரிலக்க எண்ணாக மாற்ற 1+4=5 ஆகின்றது. இரண்டாம் இலக்கம் 1+6=7. மூன்றாம் இலக்கம் 1+8=9. ஆக 186யின் தொடரி 579. இதன் தொடரி 753 அல்லவா. இவ்விளையாட்டைத் தொடர நமக்குக் கிடைக்கும் தொடரிகள் 813, 429, 246. புறப்பட்ட இடத்திற்கே வந்து விட்டோமா?

ஆறு படியில் தொடரிகள் முடிந்து விட்டன. சில எண்கள் மிக அதிகமான தொடரிகள் கொண்டிருக்கும். பல்வேறு எண்களின் தொடரிகளைக் காண முற்படுங்கள்.

பல்வேறு எண்களுக்கானத் தொடரிகளைக் கண்டு எத்துணை தொடரிகள் உள்ளன எனக் காண்பது ஒரு நல்ல பொழுதுபோக்கு. ஒரு எண்ணின் தொடரி அதே எண் என்றால் அந்த எண் என்ன? சிந்தியுங்கள். எண்களை எண்ணுவதற்கு தொடக்கப்பள்ளி மாணவர்களுக்கு இது நல்ல பயிற்சியாக இருக்கும்.

சுற்றித் திரும்பும் எண்கள்

காப்ரேகரின் மாறிலியான 6174 என்ற எண்ணை முன்னர் ஒரு கட்டுரையில் அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம். ஒரு நான்கு இலக்க எண்ணின் இலக்கங்களை இறங்கு மற்றும் ஏறு வரிசையில் அமைத்து வித்தியாசங்களைத் தொடரிகளாகக் கொண்டு தொடர்ந்தால் இறுதியாக 6174 தான் கிடைக்கும் என்று பார்த்தோம்.

அதே விதியை இரண்டு முதல் இருபது வரையான இலக்கங்களுக்கான தொடரிகளைக் கண்டு எந்த எண்களுக்கு தொடரிகள் முற்றுப் பெறுகின்றன என்று காண காப்ரேகர் முற்பட்டார். உலகம் முழுவதும் பலரும் இம்முயற்சியில் ஈடுபட ஊக்குவித்தார்.

இரண்டு இலக்க எண்களில் 81 மட்டுமே மீண்டும் அதே எண்ணிற்குத் திரும்புகின்றது.

81->81-18=63-> 63-36=27-> 72-27=45-> 54-45=09-> 90-09=81!!!

மூன்று இலக்க எண்ணில் இந்த பண்புள்ள ஒரு எண் 495.

495-> 954-459= 495; ஒரே நொடியில் திரும்பிவிட்டதே.

உங்களால் வேறு ஏதேனும் எண் காணமுடியுமா?

ஐந்து இலக்க எண்களில் மூன்று காணப்பட்டுள்ளன: 74943, 63954, 53955

சரிபார்க்கவும்.

ஆறு இலக்க எண்களில் 631764, 549945 ஆகிய இரண்டு எண்களும், ஏழு இலக்கங்களில் 8429652 என்ற ஒரே எண்ணும், எட்டு இலக்கங்களில் 97508421, 63317664 ஆகிய இரு எண்களும் இப்பண்பைக் கொண்டுள்ளனவாகக் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.

இருபது இலக்கங்கள் வரையில் இதுவரைக் கண்டறியப்பட்ட எண்களை காப்ரேகர் எனும் வலைதளத்தில் காணலாம்.