காப்ரேகரின் எண் வேடிக்கைகள்

ஒவ்வொரு எண்ணும் எனது நண்பர் என்பார் கணித மேதை ராமானுஜன். காப்ரேகர் ஒவ்வொரு எண்ணும் தனது உடன்பிறப்பு என்று வாழ்ந்தார். எண்களோடு அவர் ஆடிய ஆட்டம் கொஞ்ச நஞ்சமல்ல. அவருக்கு மிகப் பிடித்த ஒரு விளையாட்டு எண்களின் தொடரிகள் பற்றியது.

தொடரிகள்

1, 2, 3, 4,...என்பது இயல் எண்களின் வரிசை. இதில் 6-யின் தொடரி 7.

100-யின் தொடரி 101. இது ஒரு முடிவிலா எண்தொடர்.

2, 4, 6, 8,... என்பது இரட்டை எண்களின் வரிசை. இதுவும் ஒரு முடிவிலா தொடர்.

3, 6, 12, 24,… என்ற தொடரின் அடுத்த உறுப்பு என்ன? 48 தானே.

2, 3, 5, 8, 12,... இதில் 12=யின் தொடரி என்ன? கொஞ்சம் சிந்திக்க வேண்டும். 2-ஆம் உறுப்பு முதல் உறுப்பை விட 1 அதிகம். அதற்கடுத்த உறுப்பு 2 அதிகம். அதற்கடுத்தது 3 அதிகம். அதற்கடுத்த்து 4 அதிகம். விதி தெரிந்துவிட்டதல்லவா?.

கீழ்க்காணும் எண்வரிசையைக் கவனியுங்கள்

1, 2, 3, 5, 8, ... இத்தொடரில் ஒரு உறுப்பின் தொடரியைக் காண இயலுமோ?. சிறிது சிந்தித்துப் பார்த்தால் மூன்றாம் உறுப்பிலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தைய இரண்டு உறுப்புகளின் கூடுதலாக இருப்பதைக் காணலாம். லியனார்டோ என்ற இத்தாலிய கணித அறிஞர் உருவாக்கியது இவ்வெண் தொடர்.

விதி உருவாக்கம்

காப்ரேகர் தானே ஒரு விதியை உருவாக்கி அதன்படி ஒரு எண்ணிற்கு தொடரி காண முற்பட்டார். சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கலாம்.

0 எனும் இலக்கம் இல்லாத ஒரு மூன்று இலக்க எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

235 என்று இருந்தால் இதன் தொடரி அமைக்க ஒவ்வொரு இலக்கமும் விடுபட்ட மற்ற இரு இலக்கங்களின் கூடுதலாக அமைக்க வேண்டும்.

முதல் இலக்கம் 3+5=8 ஆகும். 2-ஆம் இலக்கம் 2+5= 7 ஆகும்; 3-ஆம் இலக்கம் 2+3=5 ஆகும்.

ஆக, 235-யின் தொடரி 875 ஆகும்.

875-யின் தொடரியைக் காண்போம்.

முதல் இலக்கம் 7+5=12 ஆகும். இதனை ஓரிலக்க எண்ணாக மாற்ற அந்த இரு இலக்கங்களின் கூடுதலாகிய 1+2=3 ஆகும்.

2-ஆம் இலக்கம் 8+5= 13; ஓரிலக்கமாக மாற்றிட 1+3=4 ஆகும்.

3-ஆம் இலக்கம் 8+7=15. ஓரிலக்கமாக மாற்றிட 1+5=6 ஆகும்.

ஆக, 875-யின் தொடரி 346 ஆகின்றது.

346-யின் தொடரி 197 அல்லவா? 197-யின் தொடரி 781.

781-யின் தொடரி 986; இதன் தொடரிகள் 568, 542, 679, 764, 124, 653, 892, 218, 913, 431, 457, 329, 235,

புறப்பட்ட இடத்திற்கே வந்துவிட்டோம். எத்துணை படிகள்? 18.

246-யின் தொடரிகள் 186, 579, 753, 813, 429, 246 என ஆறாவது படியிலேயே முதல் எண்ணிற்கு வந்துவிட்டோம். நீங்களாக வெவ்வேறு எண்களை எடுத்துக் கொண்டு விளையாடுங்கள்.

சுற்றி வரும் தொடரி காப்ரேகரது மற்றொரு தொடரி.

ஏதாவது ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஓரிலக்கமாகவும் இருக்கலாம். பல இலக்கங்கள் கொண்டதாகவும் இருக்கலாம்.

25 என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.

இலக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் தொடரி என்று விதிப்படுத்துவோம்.

எனவே 25-யின் தொடரி 22 + 52 = 4+25 = 29.

29-யின் தொடரி 22 + 92 = 4+81= 85.

இந்த ஆட்டத்தைத் தொடருங்கள்.

தொடரிகள் 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89.

இனி அதே தொடரிகள் வருகின்றன.

எத்துணை பெரிய எண்ணாக இருந்தாலும் தொடரி ஓரிடத்தில் திரும்ப வரத் தொடங்கும்.

மற்றொரு தொடரி விதியைப் பார்ப்பொம்.

ஏதாவது ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். எத்துனை இலக்கங்கள் வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம். இலக்க எண்களும் வித்தியாசமில்லாமலும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: 35437.

இவ்வெண்ணில் 3 இருமுறையும், பிற எண்கள் ஒரே ஒரு முறையும் வருகின்றன.

35437-யின் தொடரி 23 14 15 17 ஆகும். இதில் 1 மூன்று முறையும்

2,3,4,5,7 ஆகியவை ஒரே ஒரு முறையும் வருகின்றன.

ஆக 23141517 யின் தொடரி 31 12 13 14 15 17.

இதன் தொடரி 41 12 23 14 15 17 அல்லவா?

இதன் தொடரி 51 22 13 24 15 17

அடுத்தது 41 32 13 14 25 17

இதன் தொடரி 41 22 23 24 15 17

அடுத்தது 314213241517, 312223241517, 314223141517, 312223241517

314223141517.

தொடரிகள் திரும்புகின்றன.

சிந்திப்பதற்கு:

1. ஏன் 0 ஒரு இலக்கமாக இருக்கக்கூடாது என்ற நிபந்தனை?

2. ஒரு எண்ணின் தொடரி அதே எண். அந்த எண் என்ன?

3. தானே தன் தொடரியாக உள்ள எண்ணை கூற முடியுமா?

மூளையைக் கசக்காதவர்கள் விடைகளை அசை போடலாம்.

1. 0,1

2. 999

3. 22

- கட்டுரையாளர் ஒரு கல்வியாளர்.